Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}$ und Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus \left\{-3;-1\right\}$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Zeigen Sie, dass $f (x)$ zu jedem der drei Terme äquivalent ist: (4 BE)
$\frac{2}{(x+1)(x+3)}; \frac{2}{x^2+4x+3}; \frac{1}{0{,}5 \;\cdot (x+2)^2 -0{,}5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Zum Lösen dieser Aufgabe musst du das Erweitern von Brüchen und die binomischen Formeln beherschen.
Um die Äquivalenz zweier Terme zu zeigen, musst du sie so lange ineinander Umformen, bis sie gleich sind.
Äquivalenz zu $\frac2{(x+1)(x+3)}$
Um die Äquivalenz von $\frac1{x+1}-\frac1{x+3}$ und $\frac2{(x+1)(x+3)}$ zu zeigen, musst du $\frac1{x+1}-\frac1{x+3}$ zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Dafür erweiterst du den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den Zweiten mit dem Nenner des ersten Bruchs. Dann kannst du die Brüche auf einen Bruchstrich schreiben.
$\displaystyle \frac1{x+1}-\frac1{x+3}=\frac{1\cdot(x+3)}{(x+1)(x+3)}-\frac{1\cdot(x+1)}{(x+3)(x+1)}=\frac{x+3-x-1}{(x+1)(x+3)}=\frac2{(x+1)(x+3)}$
Also ist $\frac2{(x+1)(x+3)}$ äquivalent zu $f (x)$ .
Äquivalenz zu $\frac2{x^2+4x+3}$
Im nächsten Schritt kannst du nun $\frac2{(x+1)(x+3)}$ ausmultiplizieren.
$\displaystyle \frac2{(x+1)(x+3)}=\frac2{x^2+3x+x+3}=\frac2{x^2+4x+3}$
$\frac2{x^2+4x+3}$ ist also äquivalent zu $\frac2{(x+1)(x+3)}$ und damit zu $f (x)$ .
Äquivalenz zu $\frac1{0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5}$
Um zu zeigen, dass auch der Term $\frac1{0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5}$ äquivalent zu $f (x)$ ist, multiplizierst du ihn zunächst aus.
$\displaystyle \frac1{0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5}=\frac1{0{,}5\cdot(x^2+4x+4)-0{,}5}=\frac1{0{,}5x^2+2x+2-0{,}5}=\frac1{0{,}5x^2+2x+1{,}5}$
Anschließend kannst du mit 2 erweitern.
$\displaystyle \frac{1\cdot2}{2\cdot(0{,}5x^2+2x+1{,}5)}=\frac2{x^2+4x+3}$
$\frac1{0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5}$ ist somit äquivalent zu $\frac2{x^2+4x+3}$ , also auch zu $f (x)$ .
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Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von $G_{f}$ ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von $G_{f}$ an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_{f}$ mit der y-Achse. (3 BE)
Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion
$p:x \mapsto 0{,}5 \cdot (x+2)^2 -0{,}5$ , die die Nullstellen $x = - 3$ und $x = - 1$ hat.
Für $x \in \mathbb{D}_f$ gilt $f(x)=\frac{1}{p(x)}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du Wissen über das Berechnen der Asymptote und die Schnittpunkte mit Koordinatenachsen.
Horizontale Asymptote
Der Zählergrad der Funktion $f$ ist kleiner als der Nennergrad. Der Graph der Funktion hat also eine horizontale Asymptote mit der Gleichung $y = 0$ . Somit ist die waagrechte Asymptote gleich der x-Achse.
Vertikale Asymptote
Um die Geichungen für die vertikalen Asymptoten zu erhalten, musst du die Nullstellen des Nenners, also die Definitionslücken, betrachten. Bei dieser Aufgabe kannst du die Definitionslücken aus der Definitionsmenge in der Aufgabenstellung herauslesen.
Die senkrechten Asymptoten sind $x = - 3$ und $x = - 1$ .
Schnittpunkt mit y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu erhalten, musst du für den x-Wert 0 einsetzen.
$f(0)=\frac1{0+1}-\frac1{0+3}=1-\frac13=\frac23$
Der Schnittpunk mit der y-Achse ist $\left(0|\frac23\right)$ .
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Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen $f^{'}$ und $p^{'}$ die Beziehung $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ für $x \in \mathbb{D}_f$ .
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von $f^{'} (x)$ und $p^{'} (x)$ , dass $x = - 2$ einzige Nullstelle von $f^{'}$ ist und dass $G_{f}$ in $\left]-3;-2 \right[$ streng monoton steigend sowie in $\left]-2;-1 \right[$ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_{f}$ an. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome 2. Grades
Zur erfolgreichen Bearbeitung dieser Aufgabe solltest Du Dich mit den Eigenschaften von Polynomen 2. Grades (Parabeln) auskennen und die Zusammenhänge von 1. Ableitung, Monotonie und Extremwert kennen.
Besonders an dieser Aufgabe ist, dass die 1. Ableitung der Funktion zur Bestimmung des Extremwerts und des Monotonieverhaltens der Funktion $f$ nicht explizit gebildet werden darf. Man muss also mit der vorgegebenen Beziehung und gesicherten Eigenschaften der Funktion argumentieren!
Der Funktionsterm $p(x)=0{,}5\cdot(x+2)^2-0{,}5$ ist ein Polynom 2. Grades, allerdings nicht in seiner ausmultiplizierten Form ( $a x^{2} + b x + c$ ), sondern in der sogenannten Scheitelform ( $a (x - d)^{2} + e$ ). Wie man von der einen in die andere Form umrechnen kann, ist im Artikel über die Scheitelform nachzulesen.
Eigenschaften der Funktion $p$ sind:
$p$ ist ein Polynom 2-ten Grades, denn $x$ kommt mit Exponent $2$ vor
$p$ hat Nullstellen bei $x = - 1$ und $x = - 3$ , das steht direkt in der Angabe
Der Graph der Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitel bei $x = - 2$ . Das erkennt man am positiven Faktor $0,5$ vor der Klammer.
Eine Parabel ist achsensymmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt
Dazu passt, dass die beiden Nullstellen symmetrisch zum $x -$ Wert des Scheitels ( $- 2$ ) liegen
Am Scheitel liegt je nach Öffnung der Parabel ein Mimimum oder ein Maximum vor. Weil diese Parabel nach oben geöffnet ist, liegt an der Stelle $x = - 2$ ein Minimum vor
Am Scheitel einer Parabel ist die Steigung Null.
Folgerungen aus den Eigenschaften
$p^{'} (- 2) = 0$ , denn am Scheitel liegt eine horizontale Tangente vor. Das ist auch schon die einzige Nullstelle der Ableitung bei einer Parabel!
Links vom Scheitel ist der Graph von $p$ fallend, rechts davon steigend
Verwendung der vorgebenen Beziehung
Mit der Beziehung $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ werden nun Eigenschaften des Terms $p^{'} (x)$ (Nullstelle und Vorzeichen) auf den Term $f^{'} (x)$ übertragen.
Im Nenner der zu verwendenden Beziehung kommt nur der quadratische Ausdruck $p (x)^{2}$ vor. Als Quadrat ist er stets größer Null. Das vorangestellte Minuszeichen in der Beziehung $f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}$ führt dazu, dass das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ stets entgegen dem Vorzeichen von $p^{'} (x)$ ist.
Auch $f^{'}$ hat genau eine Nullstelle und zwar bei $x = - 2$ , denn der Quotient hat genau dann den Wert Null, wenn der Zähler Null ist, also $p^{'} (x) = 0$ .
$f^{'} (x) > 0$ für $x\in ]-3;-2[$ , d. h. $G_{f}$ ist in diesem Intervall streng monoton steigend
$f^{'} (x) < 0$ für $x\in ]-2;-1[$ , d. h. $G_{f}$ ist in diesem Intervall streng monoton fallend
Da Steigen in Fallen übergeht, liegt ein Maximum vor.
Für die Lage des Extrempunkts ist der $x$ -Wert in den Funktionsterm einzusetzen, das ergibt: $f (- 2) = - 2$ .
Daher hat $f$ einen Hochpunkt bei $(- 2 ∣ - 2)$ .
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Berechnen Sie $f (- 5)$ und $f (- 1,5)$ und skizzieren Sie $G_{f}$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Zum Lösen dieser Aufgabe ist der Artikel zum Graph einer Funktion hilfreich.
Berechnen der Punkte
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(-5)&=\frac1{0{,}5\cdot(-5+2)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot(-3)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot9-0{,}5} \\&=\frac1{4{,}5-0{,}5} \\&=\frac14\end{aligned}$
$P_1 \left(-5|\frac14\right)$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(-1{,}5)&=\frac1{0{,}5\cdot(-1{,}5+2)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot(0{,}5)^2-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}5\cdot0{,}25-0{,}5} \\&=\frac1{0{,}125-0{,}5} \\&=\frac1{-0{,}375}\end{aligned}$
$P_2 \left(-1{,}5|\frac1{-0{,}375}\right)$
Skizze
Beim Skizzieren des Graphen musst du darauf achten, dass du die Asymptoten (gestrichelte Linie), die Extrempunkte (Hop) und Monotonie, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Sy), so wie die berechneten Punkte ( $P_1 \text{ und } P_2$ ) einzeichnest.
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Eigenschaften der Funktion ppp sind:

Folgerungen aus den Eigenschaften

Verwendung der vorgebenen Beziehung

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Eigenschaften der Funktion $p$ sind: